Der Fangspiegelversatz

Worum geht es

Über den Fangspiegelversatz wird auch immer wieder eine Menge erzählt. Damit klar wird, was es damit auf sich hat, möchte ich hier auch noch ein Paar Zeilen dazu beitragen.

Grundlegende Betrachtung

Unter dem Fangspiegelversatz wird eine Verschiebung des Fangspiegels aus der optischen Achse heraus verstanden. Das heißt, das die Mittellinie des Fangspiegels und die optische Achse nicht in Deckung gebracht werden, sondern leicht versetzt angeordnet werden. Bei den Größenbetrachtungen hatte ich den Fangspiegel ja nie korrekt eingezeichnet, den hatte ich einfach senkrecht dargestellt. Dies hatte ich gemacht, da es in erster Linie nur um den Strahlenkegel und die Ausleuchtung (und nicht um dessen Umlenkung) ging.

Der Versatz des Fangspiegels ist recht einfach zu verstehen, man muss sich dazu nur den Strahlengang mit einem richtig angeordneten Fangspiegel anschauen:

[Abbildung 1]

Der (blaue) Fangspiegel ist im 45° Winkel angeordnet, damit das Licht in den oben befindlichen (aber nicht eingezeichneten) Okularauszug umgelenkt wird. In diesem Bild ist die Mittelachse des Fangspiegels auf der optischen Achse des Strahlengangs angebracht. Als Strahlengang (dunkelgrün) ist nur der aus parallel einfallendem Licht entstehende Strahlengang dargestellt.

Man sieht direkt, das der Strahlenkegel beim Fangspiegel im oberen Bereich komplett erfasst wird. Mehr noch, der Fangspiegel ist größer als der Strahlenkegel. Im unteren Bereich sieht man, das der Strahlengang nicht ganz erfaßt wird. Ein Teil der Strahlen geht unten am Fangspiegel vorbei.

Nun ist leicht einsehbar, das ein Verstz nach unten, also vom oben befindlichen Okularauszug weg, des im 45° Grad angeordneten Fangspiegels dieses Manko behebt. Oben wurde ja Platz verschenkt, unten fehlt entsprechend noch ein Stückchen.

Grundlagen zur Berechnung des Versatzes

Kommen wir nun langsam mal zur konkreten Bestimmung des Versatzes. Dazu betrachtet man am einfachsten den relevanten Ausschnitt etwas größer und zeichnet sich einige Maße ein. Darüber hinaus seien die Daten des Teleskops bekannt (F=Brennweite, D=Fangspiegeldurchmesser, a=Abstand Brennebene zum Fangspiegel).

[Abbildung 2]

Die dicke, dunkelgrüne Linien stellen den Strahlenkegel dar. Da diese beiden Linien einfache Geraden sind, kann man diese auch einfach mit der allgemeinen Geradengleichung:

[Gleichung 1]

beschreiben. Dazu legt man den Koordinatenursprung in den Fokuspunkt der Strahlen und kann dann die zwei Geraden einfach beschreiben:

[Gleichung 2]

[Gleichung 3]

Da die Geraden durch den Ursprung gehen, entfallen die Offsets b1 und b2. Weiterhin unterscheiden sich die beiden geraden nur in der positiven/negativen Steigung, also m1=-m2. Daher betrachte ich mal nur die erste Gerade und setze für die Steigung m1 ein:

[Gleichung 4]

Damit ergibt sich für die erste Gerade g1 folgender Ausdruck:

[Gleichung 5]

und analog dazu für die zweite Gerade g2:

[Gleichung 6]

Als nächstes kann man in dem Koordinatensystem die Höhe h beschrieben. Diese Höhe h entspricht ja genau dem 2-fachen des Funktionswertes von Gerade g1 an der Stelle a, also einfach:

[Gleichung 7]

Das ganze ausmultipliziert und gekürzt ergibt für die Höhe h:

[Gleichung 8]

Dann betrachte man die Höhe h_k. Diese Höhe kann einfach als Funktionswert der Geraden g1 an der Stelle a - h/2 bestimmt werden:

[Gleichung 9]

Analog dazu ist die Höhe h_g zu bestimmen aus dem Funktionswert der Geraden g1 an der Stelle a + h/2:

[Gleichung 10]

Weiterhin entspricht die Höhe h_f der halben Höhe h, die oben ja schon beschrieben wurde.

[Gleichung 11]

Die Berechnung des Versatzes

So, nun sind erst mal die einzelnen Größen beschrieben (und als Formel ausgedrück). Jetzt geht es nur noch drum, die einzelnen Größen zu verwenden und ein (erstes) Ergebnis für den Versatz zu bekommen.

Dazu bestimme ich erst mal den Versatz des Fangspiegels Δh_k nach unten, welcher den Abstand zwischen h_f und h_k ist: