Die Bewegung von Teilchen

Um was geht es

Wenn sich im (Welt-)Raum einige Teilchen bewegen, so geschieht dies meist auf Grund der Gravitation, also der Schwerkraft (andere Bewegungsgründe lasse ich mal außen vor). Durch diese gravitative Bindung der Teilchen untereinander werden u.a. Galaxien und Sonnen gebildet.

Die folgende Betrachtung ist eine rein idealisierte Betrachtung und beruht nur auf der Gravitation als treibende Kraft. Für die Entstehung von Galaxien und Sonnen sind weitaus mehr Bedingungen zu berücksichtigen.

Die Kräfte

Grundlegend üben zwei Massen (also Teilchen) eine Gravitationskraft gegenseitig aufeinander aus. Diese Kraft F ist bei beiden gleich und hängt von der Masse (m₁, m₂) der Teilchen und der Entfernung r ab. Je größer die Massen sind, desto größer ist diese Kraft. Je weiter sie entfernt sind, desto kleiner ist diese Kraft.

Diese verbale Beschreibung kann man formelmäßig folgendermaßen ausdrücken:

Der Faktor G in dieser Formel ist die Gravitationskonstante (eine Naturkonstante), die das Verhältnis der Größen Masse und Abstand zueinander beschreibt. Das Minus in der Formel besagt, das es sich um Bindungsenergie handelt. Verringert man z.B. den Abstand, so wird Energie frei (z.B. in Form von Bewegungsenergie). Vergrößert man z.B. den Abstand, so muss Kraft aufgewandt werden.

Der Vollständigkeit halber hier der Zahlenwert die Gravitationskonstante:

Wirkt eine Kraft auf eine Masse (oder Teilchen), so wird dieses Teilchen beschleunigt (ohne eine Krafteinwirkung wird sich das Teilchen nicht mehr bewegen oder seine evtl. schon vorhandene Geschwindigkeit wird sich nicht mehr ändern). Je größer die Kraft ist, desto größer ist die Beschleunigung a, die dieses Teilchen erfährt. Je größer die Masse m des Teilchens ist, desto größer muss die Kraft F sein, um es zu beschleunigen. Formelmäßig schreibt man dann:

oder

Die Berechnung

Mit diesen beiden angegebenen Formeln kann nun die Berechnung der Bewegung von Teilchen erfolgen. Jedes Teilchen in einem Testraum wirkt mit seiner Masse m (und durch die Entfernung r) auf jedes andere Teilchen. Das heißt, um die Krafteinwirkung auf ein Teilchen zu bestimmen, müssen die einzelnen Kräfte, die durch die anderen Teilchen verursacht werden, addiert werden.

Die Formel sieht nun komplizierter aus, als sie ist. Sie besagt - wie oben geschrieben - das die Kraft auf das Teilchen i sich aus der Summe der Kräfte aller n Teilchen zum Teilchen i zusammensetzt. Der Pfeil über der Kraft F besagt, das es ein Vektor ist, also nix anderes als das die Kraft in meherere Dimensionen (z.B. den Raumdimensionen x, y und z) betrachtet wird.

Die Kraft F_ij wird über die erste Formel (oben) berechnet. Diese Kraft F_i ist es nun, die das Teilchen in Bewegung setzt (die ja durch alle anderen Teilchen verursacht wird). Die Bewegung des Teilchens wird über die zweite Formel (oben) über die Beschleunigung a ausgedrückt.

Hat man so die Beschleunigung a auf alle Teilchen berechnet, kann man einfach über eine zweifache Integration die Position des Teilchens bestimmen (siehe Numerische Integrationsverfahren).

Der Algorithmus

Diese (einfachen) Berechnungen hab mal in ein Stück Software gegossen. Zu Grunde liegt ein dreidimensionaler Raum (also x, y und z). Die Berechnungen erfolgen Schritt für Schritt für einen Zeitpunkt t_n+1 aus den Daten des Zeitpunkts t_n.

Zuerst werden die Beschleunigungen aller Teilchen auf Null gesetzt, da die Kräfte auf diese Teilchen für den Zeitpunkt t_n+1 berechnet werden sollen. Aus den Kräften wird dann mit den Massen die Beschleunigung bestimmt. Es wird über alle Teilchen iteriert, also eine Schleife von 1 bis n. Da zu einem Teilchen die Kräfte von allen anderen Teilchen berechnet werden müssen, wird eine weitere innere Schleife über alle Teilchen benötigt.

Optimierung: Da die Kräfte zwischen zwei Teilchen gleich sind, nur in entgegengesetzter Richtung, kann die innere Schleife kürzer ausfallen (nicht wieder über alle n Teilchen).

Im inneren der Schleife wird dann für zwei Teilchen zuerst der Abstand bestimmt:

Und dieser Abstand wird in die drei Einzelkomponenten zerlegt:

Mit dem Abstand kann nun die Kraft F auf die beiden Teilchen berechnet werden (diese ist ja für beide Teilchen gleich):

Mit der Kraft kann die Beschleunigung auf die beiden Teilchen berechnet werden:

und

Da im 3 dimensionalen Raum gerechnet wird, werden die drei einzelnen Komponenten der Beschleunigung a für das eine Teilchen bestimmt. Hierzu wird die Beschleunigung wieder in die drei Komponenten zelegt:

Diese Beschleunigung des Teilchen j auf das Teilchen i wird auf die Gesamtbeschleunigung des Teilchens i hinzuaddiert.

Hat man über alle Teilchen die Berechnung der Beschleunigung a durchgeführt, so hat man die Gesamtbeschleunigung jedes einzelnen Teilchens. Da vektoriell gerechnet wurde, hat man diese ja in den drei Richtungen y, y und z. Über die Integration kann man dann die Geschwindigkeit v und daraus durch Integration die Position bestimmen.

Diese gesamten Berechnungen macht man dann über die gesamte betrachtete Zeit, jeweils von einem Zeitpunkt zum nächsten. In Summe hat man dann die Bewegung der Teilchen im Raum.

Ergebnisse?

Nun, folgende Ergebnisse hab ich bekommen. Hierbei wurden einige Anfangsbedingung schon gesetzt. Den Teilchen wurde zu Beginn eine Initialgeschwindigkeit gegeben (ansonsten fallen die Teilchen ja im Zentrum des Raumes zusammen).

oder

Ohne eine Anfangsbedingung bewegen sich die Teilchen auf die Mitte zu:

Es geht natürlich auch mit weniger Teilchen, so z.B. mit zwei Teilchen:

Oder mit drei Teilchen:

und weiter...

Diese Berechnungen dauern schon eine Zeit, da sehr viele Rechenoperationen durchgeführt werden müssen. Optimiert ist das ganze (bei mir) nur rudimentär. Zum einen sind die ineinandergeschachtelten Schleifen durch die gleiche Kraft reduziert, zum anderen ist eine rudimentäre Schrittweitensteuerung enthalten.

Aber es bleibt ein spannendes Thema...

Stand: 24. Mai 2010