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Ich hab mal wieder in so einem komischen Buch gelesen. Darin wurde dargelegt, das Spiralgalaxien einen Intensitätsverlauf haben, der für alle Galaxien diesen Typs charakteristisch ist. Daher hab ich mir gedacht, das ich mir diesen Verlauf mal etwas näher anschaue.
Das Intensitätsprofil, also die Helligkeitsverteilung über die sichtbare Fläche einer Galaxie, gibt einen ersten Eindruck von der Verteilung der (sichtbaren, leuchtenden) Masse in einer Galaxie. Weiterhin kann man so auch grob die Größe/Ausdehnung der Galaxie bestimmen. Hat man sonst keine weiteren Informationen über die Galaxie, so kann man erst mal mit diesen Daten eine grobe Abschätzung vornehmen.
Vergleicht man verschiedene Spiralgalaxien, so kann man (wie in der Literatur angegeben) einen exponentiellen Helligkeitsverlauf außerhalb des Zentralbereichs der Galaxie nach der folgenden Formel beobachten:
I: Intensität
I0: maximale Intensität
R: Radius
RD: Bezugsradius
Diesen Zusammenhang der radialen Helligkeitsverteilung haben de Vaucouleurs 1959 und Freeman 1970 gefunden. Der genäherte Verlauf ist aber nur außerhalb des Zentrums gültig.
Einen solchen Verlauf möchte ich aus einer Spiralgalaxie mal bestimmen und so auf den Radius der Galaxie schließen. Als Anschauungsobjekte sollen erst mal Spiralgalaxien dienen, auf die man von oben draufschaut, also Face-On. Dies ermöglicht mir es, den Helligkeitsverlauf einfacher zu ermitteln als bei einer gekippten Galaxie oder einer Edge-On Galaxie.
Als Kandidaten für solche Face-On Galaxien stehen schon einige zur Auswahl (M51, M101, NGC 6946, ...). Ich hab auch mehrere (so ca. 30) getestet und möchte die Zusammenfassung anhand von NGC-6946 und M101 mal anführen. Die Bilder selbst für diese Auswertungen hab ich von DSS gezogen.
Zuerst mal hier als Anschauungsobjekte zwei Bilder (rechts) einer Draufsicht einer Spiralgalaxie (M101, NGC-6946). Klar zu erkennen ist der helle Zentralbereich und die Spiralen der Galaxie. Die Helligkeit nimmt von innen nach außen hin ab und geht in den Hintergrund ohne eine erkennbare Grenze über.
In solch einem Bild einer Galaxie lege ich - ausgehend vom Zentrum - erst mal Kreise mit linear steigendem Radius fest. Innerhalb der Radien rn bis rn+1 bestimme ich die mittlere Helligkeit (die Radien sind jeweils in Pixel und nicht in Bogenminuten/Bogensekunden festgelegt). Dazu summiere ich eigentlich nur die Helligkeitswerte der Pixel auf und dividiere diese Summe durch die Anzahl der für diese Summen benutzten Pixel.
Die Abschätzung der Größe in Bogenminten erfolgt ganz am Schluss, die Betrachtungen erfolgen alle erst mal in Pixel.
Die Bilder werden als Graustufenbild geladen, da mich Farbinformationen hier nicht interessieren. Als Graustufen sind 256 Werte vorhanden. Für einen prinzipielle Auswertung sollte diese Anzahl an Abstufungen vollkommen ausreichen.
Als erstes Ergebnis für NGC-6946 (die Ergebnisse von M101 siehe im Anhang) habe ich eine Zahlenreihe der mittleren Helligkeiten in Abhängigkeit vom Radius. Diesen Helligkeitsverlauf kann man grafisch darstellen, um einen ersten Eindruck der Ergebnisse zu bekommen. Da die spätere Näherung des Helligkeitsverlaufs eine Exponentialfunktion (e-ax) ist, bietet es sich an, die Helligkeit auf einer logarithmischen y-Achse aufzutragen (der Radius wird linear auf der x-Achse aufgetragen).
[Abbildung 1] Helligkeitsverlauf von NGC-6946
Man sieht bei dem Kurvenverlauf im innersten Bereich einen deutlichen Abfall der Helligkeit. Außerhalb dieses inneren Bereichs fällt die Helligkeit etwa linear ab (man beachte aber, das logarithmisch aufgetragen wurde). Im Außenbereich ab etwa der Hälfte der Kurve ist die Helligkeit in etwa konstant.
Der innerste Bereich des Diagramms (etwa 10%) spiegelt den Helligkeitsverlauf des Zentrums der Galaxie wider. Das Zentrum ist sehr viel heller als der restliche Bereich und auf einen kleinen Bereich begrenzt. In einem weiteren Bereich (ca. 10%-50%) ist der Helligkeitsverlauf der Spiralen zu sehen. Dieser Bereich hat einen in etwa linearen Helligkeitsabfall (in der logarithmischen Darstellung) und geht in die Hintergrundhelligkeit über.
Die angestrebte Näherung beschreibt den Bereich der Spiralen, also etwa die 10%-50% der Kurve. Für den Zentralbereich gilt diese Näherung nicht, da muss man andere Formeln zu Grunde legen (wenn dies überhaupt näherungsweise über eine große Anzahl von Spiralgalaxien geht).
Als nächstes gilt es, den Helligkeitsverlauf des Spiralbereichs über die o.a. Formel nähern (denn nur da gilt genau diese Näherung). Dazu muss der Parameter RD und der Parameter I0 bestimmt werden.
Für den charakteristischen Radius RD hab ich in der Literatur eine Angabe gefunden (Formel angeben), mit der ich aber nicht wirklich weiter kam. Also hab ich die Näherung von E. Hubble, G. de Vaucouleurs und I.R. King für RC (siehe Anhang) benutzt, die für elliptische Galaxien bzw. dem Bulge oder auch Kugelsternhaufen gilt und auch da nur für weiter außen liegende Bereiche Gültigkeit hat.
Bei der Näherung mit der Bestimmung von RC wird der Radius genommen, bei der die Helligkeit auf 1/4 der maximalen Helligkeit abgefallen. Durch einfache, lineare Interpolation kann man aus den Zahlenwerten diesen Radius ablesen. Für das Bild von NGC-6946 hab ich diesen Radius RD := RC = 169 Pixel herausbekommen.
Für den Parameter I0 kann man nicht einfach den Maximalwert der Helligkeitskurve nehmen, denn dieser Maximalwert liegt nicht mehr in dem linearen Bereich. Zur Bestimmung von I0 extrapoliere ich einfach die e-ax Funktion auf r=0 mit I(RD)/e-1. Bei dieser Extrapolation komme ich für die Beispielgalaxie NGC-6946 auf I0 = 0,68
Damit hab ich als Beschreibung der Näherung für das Helligkeitsprofil von NGC-6946:
Als zweite Näherung will ich noch den Außenbereich (außerhalb der Galaxie) als Gerade (y=m*x+b) und als Konstante (y=c) bestimmen, die sich eigentlich nicht unterscheiden sollten. Diese zweite Näherung möchte ich dazu benutzen, den Schnittpunkt der e-ax Funktion und der Geraden/Konstanten zu bestimmen. Dieser Schnittpunkt dient als erster Anhaltspunkt für den grafisch bestimmten Radius der Galaxie.
Die Berechnung dieser beiden Näherungen erfolgt über 1/3 des Bereichs rechts im Diagramm . Bei dem Fit mit der Geraden habe ich m=-0,0000296 und b=0,09955 herausbekommen, die Konstante ist c=0,07898. Nun kann ich das Helligkeitsprofil und die beiden Näherungen (e-ax und Gerade/Konstante) in einem Diagramm einzeichnen:
[Abbildung 2] Helligkeitsverlauf von NGC-6946 mit den Näherungen
Da die Näherung über die Exponentialfunktion das eigentliche (Zwischen-)Ziel ist, hier nochmal eine vergößerte Darstellung des relevanten Bereichs:
[Abbildung 3] Helligkeitsverlauf von NGC-6946 mit der Exponentialnäherungen
Man sieht schön, das sich die genäherte, blaue Kurve an die rote Bildkurve anschmiegt...
Da man aus diesen Daten den Radius der Galaxie herausbekommen soll, schauen wir uns die Diagramme mal genauer an. In Abbildung 2 kann man den Schnittpunkt der beiden Kurven ablesen. Die Gerade (y=mx+b) schneidet bei r=343 Pixel die Exponentialfunktion, die Konstante (y=c) schneidet bei r=364 Pixel diese Kurve.
Mit dem Wissen, das das Bild einen Ausschnitt von 20x20 Bogenminuten hat, kann man auch grob auf den Schnittpunkt-Radius RS schließen. Dieser liegt hier für die Gerade bei RS = 5,77' und für die Konstante bei RS = 6,13'. Vergleicht man diese Werte mit den Angaben von z.B. SEDS (11.50' x 9.8'), so sieht man, das die Übereinstimmung doch recht gut geglückt ist (Beachte: Wir haben mit dem Radius berechnet, SEDS-Daten sind Durchmesser).
Hier eine kleine Zusammenstellung von weiteren Informationen
Helligkeitsverlauf
[Abbildung A.1] Helligkeitsverlauf von M101
RD := RC = 212,3 Pixel
I0 = 0,68
m=-0,0000003, b=0,11267, c=0,11233
[Abbildung A.2] Helligkeitsverlauf von M101 mit den Näherungen
Die Konstante und die Gerade fallen hier (fast) zusammen, so das man nur eine blau-grüne Linie sieht.
[Abbildung A.3] Helligkeitsverlauf von M101 mit der Exponentialnäherungen
Hier ist der Helligkeitszuwachs im Zentralbereich deutlicher zu sehen.
RS = 7,0' (382 Pixel, 30'x30')
Die doch etwas größere Abweichung des Radius von den realen Werten sieht man ganz gut im Diagramm. Der Übergang der Spiralen in den Hintergrund ist mehr abgerundet. Hier benutzt man besser den Schnittpunkt der roten Linie zur blau-grün Linie bei r~750 Pixel und erhält dann einen Radius von RS2 = 12,6', was dem bei SEDS angegebenen Wert (28.80' x 26.9') viel näher kommt.
Demnächst etwas mehr zu diesen Formeln.
Näherung nach E. Hubble, G. de Vaucouleurs und I.R. King
Noch eine Näherung...
Um nicht immer den Mittelpunkt des Bildes selbst zu suchen, um daraus das Helligkeitsprofil zu erstellen, wollte ich den Mittelpunkt berechnen. Dazu hab ich über das Bild ein Raster aus 30x30 Kacheln gelegt und die mittlere Helligkeit bestimmt. In der hellsten Kachel sollte das Zentrum der Galaxie sein, welches ich dann als hellster Pixel gesucht hab. Dieser Pixel sollte dann der Mittelpunkt der Radien sein.
[Abbildung A.4] Helligkeit der Kacheln für NGC-6946
[Abbildung A.5] Helligkeit der Kacheln für M101
Die Näherung über die Exponentialfunktion (und damit die Ermittlung der Parameter I0 und RD) kann auch über eine Fit-Funktion für A*eax erfolgen. Dann sollten die Werte etwas besser angepaßt sein.
Solch eine Näherung hab ich mal berechnet. Der Ansatz dazu ist recht simpel...Wenn man den Logarithmus der e-Funktion y=A*eax bestimmt, dann erhält man ja die (Geraden-)Gleichung log(y) = log(A) + a*x. Und diese Gerade nähere ich mit einer linearen Regression. Das funktioniert also in etwa so: [w1,w2]=linreg(R,log(I)); A=exp(w1); a=w2.
Das x entspricht ja dem Radius R, mit y hat man die Intensität I. Das A entspricht dem I0 und a wird zu -1/RD. Das heißt also, das die Intensitäswerte zuerst logarithmiert werden und dann mit dem Radius eine lineare Regression erfolgt. Da bei der linearen Regression mit w1 ein log(A) herauskommt, muss man das log(A) einfach wieder über eine e-Funktion in A wandeln. Der Wert w2 entspricht a. Mit dem Vergleich mit der obigen Formel folgt ja einfach a=-1/RD, also RD=-1/a.
Als Vergleich der Näherung mit Rd und der Näherung mit einem e-Fit die beiden vergrößerten Grafiken:
[Abbildung A.6] Helligkeitsverlauf von NGC-6946 mit der Rd und der e-Fit Näherung
Bei NGC-6946 erhalte ich mit dem e-Fit die Werte I0=0,682 und RD=163,5 Pixel.
[Abbildung A.7] Helligkeitsverlauf von M101 mit der Rd und der e-Fit Näherung
Der e-Fit für M101 liefert die Werte I0=0,521 und RD=302,7 Pixel.
Die Berechnugen sind mit SciLab (V5.2.2) durchgeführt worden. Als Zusatz für die Bildbearbeitung hatte ich das Modul SIVP (0.5.3) geladen. Für das Intensitätsprofil hab ich das Script Helligkeitsprofil (V1.0) geschrieben. Die Auswertung der Spiralgalaxien erfolgte mit dem Script Spiralgalaxien (V1.0) und die Auswertung der elliptischen Galaxien erfolgte mit dem Script Elliptische Galaxien (V1.0).
Stand: 21. Juni 2011